Анализ размерностей. Число Рейнольдса.

Схема эксперимента. Анализ размерностей
Анализ размерностей — Схема эксперимента.  Суть: из трубки, например, форсунки, распыляется жидкость. Задача — составить уравнение того, как зависит диаметр d (зависимая переменная) от остальных (независимых) переменных, показанных на рисунке. \rho — плотность жидкости, \mu — кинематическая вязкость, \sigma — поверхностное натяжение.

Итак, анализ размерностей. Ссылка на видео-урок Гая Рифлера. Урок на английском языке. Интересный факт о числе Рейнольдса. Его можно получить вообще без аэродинамики, а только лишь рассматривая свойства единиц измерения задачи или эксперимента. В данной статье приведу текстовую версию на русском языке.

Анализ размерностей. Общие сведения

Допустим, для показанной на рисунке задачи нет уравнения и нам нужно его построить. В принципе, можно начать масштабную серию экспериментов и рано или поздно прийти к результатам. Но обратите внимание, для пяти независимых переменных, поиск функции вида d=f(D,V,\rho,\mu,\sigma) становится почти неразрешимой задачей. Серия экспериментов будет огромной. Применяемость на практике результатов, достигнутых с большим трудом будет под вопросом.

Анализ размерностей позволяет свести задачу к меньшему числу независимых переменных, называемых Пи-числами (безразмерными переменными). Для получения безразмерных Пи-чисел, используется Пи-теорема Бакингема.

Пару слов о единицах измерения. Все исходные единицы измерения, показанные на рисунке, кроме диаметров, являются производными. В зарубежной литературе по гидродинамике можно встретить два обозначения системы основных единиц измерения:

  • MLT — «Mass Length Time»
  • FLT — «Force Length Time»

Например, плотность (производная единица) в системе MLT имеет размерность M/L^{3}. Но F=ma, поэтому масса  в системе FLT имеет вид N/(L/T^{2})=FT^{2}/L. А это значит, что плотность в  системе FLT имеет размерность \frac{FT^{2}}{L^{4}}.

Единицы MLT и FLT измерения относятся к основным единицам. См. сайт Международного бюро мер и весов. Но их берется три, а не все семь. Потому что некоторые основные единицы в задаче не участвуют. В нашей задаче шесть исходных и три основных единицы измерения.

Единицы измерения переменных

Для нашей задачи, запишем единицы измерения в системе MLT. Равенство с точкой означает «имеет единицы измерения».

  • Диаметр d \dot{=}L
  • Диаметр D \dot{=}L
  • Скорость М \dot{=}LT^{-1}
  • Плотность \rho \dot{=}ML^{-3}
  • Кинематическая вязкость \mu \dot{=}ML^{-1}T^{-1}
  • Поверхностное натяжение \sigma \dot{=}MT^{-2}

Пи-теорема Бакингема

Число независимых безразмерных чисел \Pi_{i}, которые можно получить из анализа размерностей равно k-r, где k — общее число исходных переменных, в том числе и зависимая переменная d, а r — число основных единиц измерения в задаче. В нашем случае, число безразмерных Пи-чисел равно 6-3=3 шт.

То есть d=f(D,V,\rho,\mu,\sigma) можно привести к \Pi_{1}=\phi(\Pi_{2},\Pi_{3}).

Метод повторяющихся переменных

Как же получить безразмерные переменные и сформулировать задачу в них? Для этого необходимо предпринять два шага:

  • Шаг 1. Выбрать повторяющиеся переменные,
  • Шаг 2. Получить безразмерные переменные;

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Шаг 1. Выбор повторяющихся переменных

Сначала выберем в количестве r, то есть три штуки, единицы из исходных и поместим их в группу повторяющихся единиц. В эту группу должны войти единицы, формирующие набор со следующими свойствами:

  1. В списке нет зависимых единиц (нельзя сделать так, чтобы манипуляции с исходными единицами привели бы к сокращению всех основных единиц измерения).
  2. В наборе повторяющихся должны быть представлены все r основных единиц измерения.
  3. В повторяющиеся не должна входить сама функция, т.е. d.

Возьмем, к примеру, такой набор повторяющихся переменных:

\begin{cases} D \dot{=}L \\ \mu \dot{=}ML^{-1}T^{-1} \\ V \dot{=}LT^{-1} \end{cases}

Это правильный набор. Он соответствует требованиям 1-3 данного шага.

Вот такой набор — тоже правильный:

\begin{cases} D \dot{=}L \\ \sigma \dot{=}MT^{-2} \\ \rho \dot{=}ML^{-3} \end{cases}

Следует заметить, что различные повторяющиеся переменные будут приводить к различным безразмерным Пи-числам. Теперь, чтобы не сложилось мнения о том, что любой набор исходных переменных сгодится для группы повторяющихся, приведем такие наборы, которые нельзя выбирать.

\begin{cases} \sigma \dot{=}MT^{-2} \\ \mu \dot{=}ML^{-1}T^{-1} \\ V \dot{=}LT^{-1} \end{cases}

Почему нельзя: (\frac{\sigma}{\mu})/V=1. Набор не обладает свойством №1. Еще один пример:

\begin{cases} d \dot{=}L \\ \sigma \dot{=}MT^{-2} \\ \rho \dot{=}ML^{-3} \end{cases}

Этот набор не проходит по правилу №3. И ещё один неправильный:

\begin{cases} d \dot{=}L \\ D \dot{=}L \\ V \dot{=}LT^{-1} \end{cases}

Данный набор не проходит по правилу №1, т.к. \frac{d}{D}\dot{=}1, и он также не проходит по правилу №2 — представлены только две из трех основных единиц измерения. По правилу №3 тоже не проходит d в этом наборе быть не должно.

Шаг 2. Получим безразмерные переменные (Пи-числа)

Допустим, мы выбрали в качестве повторяющихся переменные D,\mu,V. Остальные тогда (d,\rho,\sigma) остаются не повторяющимися. Для каждой не повторяющейся переменной, определяем такие умножения и деления на повторяющиеся (можно со степенями), чтобы получилась единица. Т.е. стараемся сократить все основные единицы измерения.

\Pi_{1}: d \dot{=}L. Тут всё просто. Чтобы получилась единица, надо поделить на D. Поэтому \mathbf{\Pi_{1}=\frac{d}{D}}

\Pi_{2}: \rho \dot{=}ML^{-3} Тут посложнее. Сначала поделим \rho/\mu\dot{=}\frac{ML^{-3}}{ML^{-1}T^{-1}}. M сократилась. Затем, нужно ликвидировать T, для чего умножаем результат на V. \rho V/\mu\dot{=}\frac{L^{-3}LT^{-1}}{L^{-1}T^{-1}}T сократились, остаются L. Используем D. \rho V D/\mu\dot{=} 1.

Мы получили безразмерное число Рейнольдса. \mathbf{\Pi_{2}=\frac{\rho V D}{\mu}}.

\Pi_{3}: \sigma \dot{=}MT^{-2}. Делим на \mu (сократится масса), затем делим на V (сократится T и получится 1). Таким образом,  \mathbf{\Pi_{3}=\frac{\sigma}{\mu V}}.

Вывод

Задача отыскания функции в виде d=f(D,V,\rho,\mu,\sigma) сведена к исследованию функции в безразмерных величинах \Pi_{1}=\phi(\Pi_{2},\Pi_{3}).

Wolfram Alpha

Вот как работает с размерностями Wolfram Alpha. См. раздел Dimensionless Combinations.

Анализ размерностей в Wolfram Alpha
Анализ размерностей в Wolfram Alpha

Здесь я пока не понял, как сделать два диаметра, вместо одного Length, чтобы получить \Pi_{1}=\frac{d}{D}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.