Теорема Клапейрона

Нужно отыскать перемещение точки B, в которой приложена нагрузка 10кН. При решении данной задачи применяется теорема Клапейрона. На рисунке приняты следующие обозначения: $L_{i}$ , $N_{i}$ — соответственно длина стержня и внутреннее усилие растяжения-сжатия в стержне, $S=100$ кв.мм — площадь поперечного сечения стержня (одинаковая для обоих стержней). Задействуем Mathematica для автоматизации вычислений.

Теорема формулируется так: работа упругой деформации равна половине работы внешней силы (10кН) на перемещении точки приложения силы (B).

Порядок решения

Теорема используется для получения величины перемещения в точке конструкции. Сделаем следующее:

Определим сначала внутреннюю энергию деформации фермы по известной формуле для растянуто-сжатого стержня. Энергия будет равна сумме энергий растяжения-сжатия двух стержней. По закону сохранения энергии, она также равна и работе внешней силы.
Выражаем работу. Работа внешней силы может быть выражена при помощи теоремы Клапейрона. В таком выражении как раз будет искомое перемещение узла B.
Приравнивая внутреннюю энергию деформации фермы (п.1) к работе (п.2) получим уравнение, которое разрешим относительно искомого перемещения.

Определение внутренней энергии

Из геометрических соотношений (см. рисунок в начале статьи) имеем: $L_{2}=\frac{L_{1}}{cos(60)}=2,0$ м.

Рассмотрим равновесие узла B. На узел действуют внутренние силы растяжения-сжатия в стержнях $N_{i}$ и внешняя нагрузка 10кН. Для определения неизвестных внутренних сил, составим уравнения сумм проекций сил, действующих в узле на ось X и на ось Y.

$\sum_{X}=-N_{1}-N_{2}cos(60)=0$

$\sum_{Y}=-10$ кН $-N_{2}sin(60)=0$

Во втором уравнении только одна неизвестная, поэтому из него определяем $N_{2}=-\frac{10}{sin(60)}=-11,55$ кН (сжимающее). Подставляя полученное число в первое уравнение, находим из первого вторую неизвестную величину внутреннего усилия $N_{1}=-N_{2}cos(60)=-(-11,55)cos(60)=5,77$ кН (растягивающее).

Определим теперь внутреннюю энергию системы, как сумму:

$U=\sum_{i=1}^{2}\frac{N^{2}_{i}L_{i}}{2ES}=\frac{(-11550)^{2}\cdot 2,0}{2\cdot 200e9\cdot 0,0001}+\frac{5770^{2}\cdot 1,0}{2\cdot 200e9\cdot 0,0001}=7,5$ Нм.