Экспериментальное определение момента инерции

В справочнике авиаконструктора под редакцией Лурье и Горяинова (ЦАГИ, 1939 год, том 3, стр. 623) приводится формула, позволяющая выполнить экспериментальное определение момента инерции. Вот такая:

$J=Ql(\frac{T^2}{4 \pi^2}-\frac{l}{g})$

Формула позволяет определить момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела (центр тяжести).

Рассмотрим, что такое физический маятник и как получилась такая формула.

Физический маятник

Есть математический маятник — это материальная точка на тонкой нерастяжимой и невесомой нити. А ещё есть физический, более реалистичный. Физический маятник — это твердое тело, повешенное за точку, не являющуюся центром тяжести. Для определения периода колебаний физического маятника есть такая формула:

$T=2\pi\sqrt{\frac{J^{*}}{mgl}}$

Здесь $J^{*}$ — момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, $l$ — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника, $m$ — масса маятника, $g$ — ускорение свободного падения (которое, кстати, не во всех точках земного шара равно 9,81м/с²).

На самом деле, точное выражение периода колебаний физического маятника выглядит более сложно. Приведенная формула — это результат упрощения, с учетом того, что тело не совершает колебаний большой амплитуды (до 4° на сторону). Это приближенная формула. Тем не менее понятно, раз в формулу входит момент инерции, она то, что нужно.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Теорема: момент инерции тела $J$ относительно произвольной неподвижной оси $a$ может быть определен следующим образом:

$J=J_{C}+md^{2}$

где $J_{c}$ — момент инерции этого тела относительно оси $с$ , которая параллельна $a$ и проходит через центр масс тела, $md^{2}$ — произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Таким образом, можно подставить выражение теоремы вместо момента инерции в формулу периода, а затем выразить $J_{C}$ . В наших обозначениях: $J=J^{*}$ , $d=l$ , поэтому формулировка теоремы для подстановки запишется так:

$J^{*}=J_{C}+ml^{2}$