Число мощности (Число Ньютона) и пи-теорема Бакингема в задаче о моменте импеллера -

Почему при рассмотрении задачи об определении момента, необходимого для вращения импеллера, мы рассматриваем две безразмерных величины — число Рейнольдса и число мощности? Пи-теорема Бакингема применяется для того, чтобы свести задачу отыскания многопараметрической зависимости к более простой. Это позволяет упростить посторение прикладных графиков. Именно так появились диаграммы зависимости числа мощности от числа Рейнольдса, упомянутые в статье о моменте импеллера. Здесь мы рассмотрим применение пи-теоремы для параметризации задачи импеллера в безразмерных величинах.

Характеристика задачи. Число мощности и число Рейнольдса

Момент на импеллере $T_{imp} = [N \cdot m] = M L^{2}T^{-2}$ исходя из интуитивных соображений о сути процесса определяется следующими величинами:

Вязкость динамическая $\mu = [Pa \cdot s] = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2} \cdot s = M L^{-1} T^{-1}$

Диаметр крыльчатки $D = [m] = L$

Плотность перемешиваемой жидкости $\rho = [kg/m^{3}] = M L^{-3}$

Число оборотов в секунду $N = [s^{-1}] = T^{-1}$

Значит, общее число параметров системы $n=5$ , число независимых $m=3$ . Эти три независимых — единицы массы, длины и времени (обозначаются M, L, T). По теореме Бакингема, может быть составлено $n-m=2$ безразмерных переменных для параметризации задачи. Как мы увидим далее, одна из них — это число Рейнольдса $N_{Re}$ , а вторая — число мощности $N_{p}$ или число Ньютона. Такое сведение задачи очень полезно, поскольку функция $T_{imp}=f(\mu,D,\rho,N)$ визуализируется для инженерных приложений намного сложнее, чем $N_{p}=f(N_{Re})$ .

Выбор независимых параметров

В качестве независимых выбираем диаметр $D[L]$ , обороты $N[ T^{-1} ]$ и плотность $\rho[ M L^{-3} ]$ .

Выбор немного хитрый, не наобум. Отметим пару моментов. Независимые они из-за того, что умножая и деля их нельзя сократить все основные единицы измерения и получить 1. Кроме того, к этому набору предъявляется требование о том, что в него должны входить такие параметры, основные единицы измерения которых представлены все, что есть в задаче. То-есть у нас в единицах измерения выбранных параметров должны быть единицы массы, длины и времени. Дополнительно в этот набор не должна входить функция, для которой упрощается зависимость. В нашем случае, в этот набор не должен входить момент на импеллере $T_{imp}$ .

Оставшиеся в задаче параметры — это вязкость $\mu$ и момент $T_{imp}$ . Обезразмеривая их единицы измерения с помощью независимых с неизвестными степенями, мы будем находить безразмерные параметры задачи.

$\Pi_{1}$ число Рейнольдса

Итак, безразмерная величина, это когда все базовые единицы имеют степень 0: $M^{0}L^{0}T^{0}$ . Нам теперь нужна такая комбинация независимых параметров, которая обезразмерить вязкость. Значит:

$M^{0}L^{0}T^{0} = M L^{-1} T^{-1} \cdot [(L)^{a} \cdot (T^{-1})^{b} \cdot (M L^{-3})^{c}]=M^{1+c}L^{-1+a-3c}T^{-1-b}$

Приравнивая степени при одних базовых единицах нулям и перенося константы в правую часть, имеем:

$\begin{cases}0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c = -1\\ 1 \cdot a + 0 \cdot b - 3c = 1 \\ -b=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=-1\\a=-2\\b=-1 \end{cases}$

Проверка: $\mu \cdot D^{-2} \cdot N^{-1} \cdot \rho^{-1} = ML^{-1}T^{-1} \cdot L^{-2} \cdot (T^{-1})^{-1} \cdot (ML^{-3})^{-1}=1$

Значит $\Pi_1=\frac{\mu} {D^{2}N\rho}$ . Это величина, обратная числу Рейнольдса, а потому ему эквивалентная.

$\Pi_{2}$ Число мощности (Число Ньютона)

Обезразмерим теперь момент на валу импеллера $T_{imp} = M L^{2}T^{-2}$ .

$M^{0}L^{0}T^{0} = M L^{2} T^{-2} \cdot [ (L)^{a} \cdot (T^{-1})^{b} \cdot (M L^{-3})^{c}] =M^{1+c}L^{2+a-3c}T^{-2-b}$

Опять, приравнивая степени при одних базовых единицах нулям и перенося константы в правую часть, имеем:

$\begin{cases}0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c = -1\\ 0 \cdot a + 0 \cdot b - 3c = -2 \\ b=-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=-1\\a=-5\\b=-2 \end{cases}$

Таким образом $\Pi_{2}=T \cdot D^{-5} \cdot N^{-2} \cdot \rho^{-1}$

Последнее выражение представляет собой число мощности, выраженное с помощью момента на валу импеллера.

Мы свели задачу к двум безразмерным параметрам.

$T=f(\mu,D,\rho,N) \rightarrow \Pi_{1}=f(\Pi_{2})$

Характеристика задачи. Число мощности и число Рейнольдса

Выбор независимых параметров

число Рейнольдса

Число мощности (Число Ньютона)

Добавить комментарий Отменить ответ

$\Pi_{1}$ число Рейнольдса

$\Pi_{2}$ Число мощности (Число Ньютона)