Винтовая цилиндрическая пружина. Коэффициент жёсткости.

Расчет пружины. Рассмотрим, каким образом можно получить зависимость удлинения пружины от приложенной нагрузки. Считаем по теоретическим формулам сопротивления материалов. Блокнот Mathemetica прилагается.

Расчет пружины. Общие сведения

Для автоматизации многочисленных подстановок, буду применять Mathematica Online. Приведу сразу снимок блокнота. Теория далее. Задействованы ReplaceAll в краткой форме и Solve.

Расчет пружины. Блокнот Mathematica. — Блокнот Mathematica Online. Вывод формулы коэффициента жесткости пружины.

Cчитаем, что пружина это скручивающийся стержень. У кусочка проволоки, из которого навита пружина, есть некоторая длина $L$ (это будет длина стержня). Диаметр проволоки равен $d$ .

Расчет пружины — Пружина для расчета жесткости

Энергия деформации

Для энергии $U$ (Дж) деформации крутящегося стержня имеем следующее выражение:

$U=(\tau_{max}^{2}/4G)V=(\tau_{max}^{2}/4G)AL$

Здесь: $V$ — объем стержня (проволоки пружины), $G$ — модуль сдвига (для стали равен $79\cdot 10^{9}$ Па), $\tau_{max}$ — максимальное касательное напряжение на поверхности стержня, $A$ — площадь поперечного сечения проволоки, из которой свита пружина, $L$ — длина проволоки, из которой свита пружина. Без зацепов и поджатых витков. Площадь поперечного сечения $A$ может быть выражена через диаметр проволоки: $A=\pi d^{2} /4$

Как известно, напряжения в стержне при кручении меняются от нуля в центре до максимума $\tau_{max}$ на поверхности стержня. То есть: $\tau=Tr/J$ — для касательных напряжений в произвольной точке стержня на расстоянии $r$ от оси вращения. Для максимальных касательных напряжений, радиус максимален и равен радиусу проволоки, поэтому: $\tau_{max}=Tr_{max}/J=Td/2J$ . Здесь $r$ — радиус точки в которой вычисляется напряжение (максимальный радиус равен $d/2$ ), $d$ — диаметр проволоки, $J$ — полярный момент инерции сечения проволоки. Для проволоки круглого сечения момент равен: $J=\pi d^{4}/32$ . $T$ — момент кручения стержня, выражается через силу $F$ , которая приложена к пружине по оси спирали: $T=F\cdot D/2$

Таким образом, подставив все величины в формулу для определения энергии деформации, мы получим следующее выражение энергии (см. ячейку 15 блокнота Mathematica):

$U=\frac{4D^{2}F^{2}L}{d^{4}G\pi}$

Работа силы на свободном конце пружины

С другой стороны, работа, совершаемая некоторой силой $F$ на перемещение нижнего конца пружины $y$ при растяжении должна быть равна энергии деформации. Известно, что усилие для растяжения пружины не постоянно, чем больше растягиваем, тем больше усилие. Закон линеен. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком линейной функции, то есть:

$A_{F}=\frac{1}{2}F\cdot y$

Зависимость перемещения Y от силы F

Приравнивая работу $A_{F}$ (Дж) к энергии $U$ (Дж), получаем уравнение:

$\frac{4D^{2}F^{2}L}{d^{4}G\pi} = \frac{F\cdot y}{2}$

Забыл кое-что выразить. $L$ — длина проволоки в спирали может быть подсчитана так: $L=n\pi D$ , где $D$ — диаметр спирали, $n$ — число витков.

Сделаем замену в уравнении и выразим $F$ (Ячейка 18):

$F=F(y)=\frac{d^{4} G y}{8 D^{3} n}$ т.е. $F(y) = K y$ , где $K=\frac{d^{4} G}_{8 D^{3} n}$

$K$ (Н/м) — это искомый коэффициент жесткости цилиндрической пружины. Обратите внимание на то, что жесткость прямо пропорциональна диаметру проволоки в четвертой степени и обратно пропорциональна диаметру пружины в кубе. Это означает, что увеличение диаметра проволоки в два раза при прочих размерах без изменений, увеличит жесткость в $2^{4}=16$ раз. А увеличение диаметра пружины в два раза при прочих размерах без изменений, уменьшит жесткость в $2^{3}=8$ раз.

На практике, приходится учитывать некоторые нюансы. Например, диаметр проволоки может быть не любым а только таким, который выпускается промышленностью. У пружины, кроме жесткости есть такая характеристика, как ресурс и режим работы. Учитывается даже соударение витков — вспомните магическую пружинку Слинки, которую Эйс Вентура с монастыря спускал, так вот, у ней всегда витки соударяются. Кроме того, выведенная формула жесткости не учитывает криволинейность оси проволоки, свитой в пружину. Для этого существует специальный поправочный коэффициент, входящий в формулу для вычисления касательного напряжения. Этот коэффициент зависит от индекса пружины $D/d$ . Пружины на практике рассчитываются в соответствии с нормативной документацией:

Классификация, сведения о материалах и ссылки на параметры витков даны в ГОСТ 13764-86 — «Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения. Классификация».

Методика определения размеров пружин дана в ГОСТ 13765-86 — «Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения. Обозначение параметров, методика определения размеров».

Ссылки:

Модуль сдвига, Кручение, Полярный момент инерции

Расчет пружины выполняется по ГОСТ, см. В.И. Анурьев — «Справочник конструктора машиностроителя» Том 3, стр 199. Издание 2001 г.

Spring (блокнот Mathematica)

Расчет пружины. Общие сведения

Энергия деформации

Работа силы на свободном конце пружины

Зависимость перемещения Y от силы F

Добавить комментарий Отменить ответ