В справочнике авиаконструктора под редакцией Лурье и Горяинова (ЦАГИ, 1939 год, том 3, стр. 623) приводится формула, позволяющая выполнить экспериментальное определение момента инерции. Вот такая:
Формула позволяет определить момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела (центр тяжести).
Рассмотрим, что такое физический маятник и как получилась такая формула.
Физический маятник
Есть математический маятник — это материальная точка на тонкой нерастяжимой и невесомой нити. А ещё есть физический, более реалистичный. Физический маятник — это твердое тело, повешенное за точку, не являющуюся центром тяжести. Для определения периода колебаний физического маятника есть такая формула:
Здесь — момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника, — масса маятника, — ускорение свободного падения (которое, кстати, не во всех точках земного шара равно 9,81м/с²).
На самом деле, точное выражение периода колебаний физического маятника выглядит более сложно. Приведенная формула — это результат упрощения, с учетом того, что тело не совершает колебаний большой амплитуды (до 4° на сторону). Это приближенная формула. Тем не менее понятно, раз в формулу входит момент инерции, она то, что нужно.
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Теорема: момент инерции тела относительно произвольной неподвижной оси может быть определен следующим образом:
где — момент инерции этого тела относительно оси , которая параллельна и проходит через центр масс тела, — произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.
Таким образом, можно подставить выражение теоремы вместо момента инерции в формулу периода, а затем выразить . В наших обозначениях: , , поэтому формулировка теоремы для подстановки запишется так:
Экспериментальное определение момента инерции
В ходе эксперимента, тело подвешивают за точку, не являющуюся центром тяжести. Получается физический маятник. Далее тело раскачивают и измеряют период колебаний. Зная период, определяют момент инерции:
В итоге имеем формулу из справочника, если заменить (обозначение веса).