Теория метода контрольных объемов (1D)

Поскольку в статье [2] о реализации метода контрольных объемов теоретическая часть приведена только в виде ссылки на книгу [1], здесь будет перевод небольшого отрывка из этой самой книги. Теория метода контрольных объемов формулируется для некоторого абстрактного свойства \phi (вместо температуры T).

Теория метода контрольных объемов (перевод)

Начало перевода ([1] стр. 115-118).

Раздел 4.1 — Введение

Сущность уравнений переноса, описывающих поток жидкости и перенос тепла была рассмотрена вместе с формальным описанием интегрирования по контрольным объемам в Главе 2. Здесь мы разработаем численный метод, базирующийся на таком интегрировании, который называется методом конечных объемов или методом контрольных объемов. В качестве примера возьмем самый простой процесс переноса: диффузия в установившемся состоянии. Уравнение установившегося процесса диффузии может быть выведено из общей формы уравнения переноса (2.39) для свойства \phi:

\frac{\partial (\rho\phi)}{\partial t} + \mathbf{div}(\rho\phi u) = \mathbf{div}(\Gamma\: \mathbf{grad} \phi)+S_{\phi}   (2.39)

Для этого необходимо опустить нестационарный и конвективный члены уравнения. При этом (2.39) сведется к виду:

\mathbf{div}\left(\Gamma\:\mathbf{grad}\:\phi\right)+S_{\phi}=0   (4.1)

Интегрирование по контрольному объему представляет собой ключевой шаг метода контрольных объемов, отличающий этот метод от других техник вычислительной гидродинамики. В нашем случае интегрирование по контрольному объему (CV) принимает такую форму:

\int_{CV}\mathbf{div}\left(\Gamma\:\mathbf{grad}\:\phi\right) dV + \int_{CV}S_{\phi}dV = 0

или

\int_{A}n\cdot \left(\Gamma\:\mathbf{grad}\:\phi\right)dA + \int_{CV}S_{\phi}dV=0   (4.2)

Работая с одномерным стационарным уравнением диффузии далее, мы применим технику аппроксимации и получим так называемые дискретные уравнения (систему линейных уравнений). Метод может быть расширен на двух и трехмерные задачи установившейся диффузии. Решение практических задач приводится далее (с Главы 4.3), в ходе рассмотрения нескольких примеров. Точность будет оцениваться по данным аналитических решений.

4.2 Метод контрольных объемов для одномерной установившейся диффузии

Рассмотрим установившийся процесс диффузии некоторого свойства \phi в одномерной области, показанной на рис. 4.1:

Теория метода контрольных объемов - обозначения
Рис 4.1: Теория метода контрольных объемов — обозначения.

Кружочки с синей обводкой — это узлы. Вертикальные черточки — это границы ячеек (контрольных объемов). W — узел на западе (West), то есть слева от рассматриваемого узла P. Малое w — это западная граница ячейки. Точка E (East) находится на востоке от P. Малое e — это восточная граница ячейки. \delta x_{PE}\delta x_{WP} — это расстояния между узлами слева и справа. Размер контрольного объема равен расстоянию от границы w до границы e: \Delta x= \delta x_{we} (на рисунке не показан).

Уравнение процесса (4.1) для одномерного случая имеет вид:

\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\Gamma\frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)+S=0  (4.3)

Здесь \Gamma — коэффициент диффузии, S — источник. Граничные значения \phi в точках A и B считаются заданными. В качестве примера такого процесса можно привести одномерный установившийся процесс теплопередачи в стержне. Этот процесс рассмотрен детально в разделе 4.3.

Шаг 1 — Генерация сетки

Рассматриваемая область должна быть разбита на контрольные объемы. Для этого, распределим на прямой между A и B несколько узловых точек (узлов). Границы или грани контрольных объемов будем считать расположенными посередине, между смежными узлами. Таким образом, каждый узел оказывается окружен некоторым контрольным объемом, то есть ячейкой. Общепринятой практикой считается расположение контрольных объемов на границе расчетной области таким образом, чтобы их грани совпадали с границами расчетной области.

Стандартные обозначения для метода контрольных объемов показаны на рис. 4.1.

Шаг 2 — Дискретизация

Следующий ключевой шаг метода контрольных объемов — это интегрирование исходного дифференциального уравнения или уравнений по контрольному объему. Целью интегрирования является получение линейного (дискретного) уравнения для каждого узла P. Для контрольного объема, показанного на рис. 4.1, интегрирование по ячейке приводит к следующему:

\int_{\Delta V}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\Gamma \frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)\text{d}V + \int_{\Delta V} S \text{d}V = \left(\Gamma A\frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)_{e} - \left(\Gamma A\frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)_{w} + \bar{S}\Delta V = 0 (4.4)

Здесь A — это площадь поперечного сечения границы контрольного объема, \Delta V — объем ячейки и \bar{S} — среднее значение источникового члена по ячейке, то есть по контрольному объему. Очень привлекательной особенностью метода контрольных объемов является то, что приведенное дискретное уравнение имеет наглядную физическую интерпретацию. Уравнение (4.4) означает, что диффузионный поток \phi, покидающий восточную грань контрольного объема, за вычетом диффузионного потока, входящего в объем через западную грань, равен генерации \phi в контрольном объеме. Таким образом, уравнение (4.4) представляет собой баланс \phi в контрольном объеме.

Чтобы вывести применяемые на практике формы дискретных уравнений, необходимо определить коэффициент диффузии \Gamma и градиент \frac{\text{d}\phi}{\text{d}x} на гранях контрольного объема e и w. Следуя общепринятой практике, примем величину \phi и значение \Gamma заданными в узловых точках. Тогда, чтобы посчитать градиенты и потоки на гранях ячеек, возможно воспользоваться аппроксимацией этих свойств между узловыми точками. Самым очевидным развитием этого подхода является выбор линейной аппроксимации. Такая практика в сущности является применением формы центральной разности. На однородной сетке, при линейной интерполяции, для значений коэффициента \Gamma на гранях имеем:

\Gamma_{w}=\frac{\Gamma_{W}+\Gamma_{P}}{2} (4.5a)

\Gamma_{e}=\frac{\Gamma_{P}+\Gamma_{E}}{2} (4.5b)

Для диффузионного потока:

\left(\Gamma A\frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)_{e}=\Gamma_{e} A_{e}\left( \frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\delta x_{PE}}\right) (4.6)

\left(\Gamma A\frac{\text{d}\phi}{\text{d}x}\right)_{w}=\Gamma_{w} A_{w}\left( \frac{\phi_{P}-\phi_{W}}{\delta x_{WP}}\right) (4.7)

Как это будет показано далее, источниковый член S может быть функцией зависимой переменной (\phi). В таких случаях метод контрольных объемов аппроксимирует S линейным законом:

\bar{S}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi_{P} (4.8)

Подстановка (4.6), (4.7) и (4.8) в (4.4) дает:

\Gamma_{e} A_{e}\left( \frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\delta x_{PE}}\right) - \Gamma_{w} A_{w}\left( \frac{\phi_{P}-\phi_{W}}{\delta x_{WP}}\right) + (S_{u}+S_{p}\phi_{P})=0 (4.9)

Если разложить скобки на слагаемые и затем сгруппировать по \phi, то (4.9) можно переписать в следующем виде:

\left(\frac{\Gamma_{e}}{\delta x_{PE}}A_{e} + \frac{\Gamma_{w}}{\delta x_{WP}}A_{w} - S_{p}\right)\phi_{P} = \left(\frac{\Gamma_{w}}{\delta x_{WP}}A_{w}\right) \phi_{W} + \left(\frac{\Gamma_{e}}{\delta x_{PE}}A_{e}\right) \phi_{E} + S_{u} (4.10)

Обозначим коэффициенты при \phi_{P}, \phi_{W} и \phi_{E}, как a_{P}, a_{W} и a_{E}. Тогда (4.10) можно переписать так:

a_{P} \phi_{P} = a_{W} \phi_{W} + a_{E} \phi_{E}  + S_{u} (4.11)

Здесь a_{W}=\frac{\Gamma_{w}}{\delta x_{WP}} A_{w}, a_{E}=\frac{\Gamma_{e}}{\delta x_{PE}} A_{e}, a_{P} = a_{W}+a_{E}-S_{p}.

Величины S_{u} и S_{p} могут быть получены из модели источника (4.8). Уравнения (4.11) и (4.8) являются дискретной формой уравнения (4.1). Этот тип дискретного уравнения является основным для дальнейших рассуждений.

Шаг 3 — решение системы уравнений

Дискретные уравнения по форме 4.11 должны быть построены для каждой узловой точки, только тогда можно будет решить задачу. Для контрольных объемов, прилегающих к границе области решения задачи, уравнение 4.11 изменяется так, чтобы оно содержало граничные условия. Результирующая система линейных алгебраических уравнений затем решается для того чтобы получить значения свойства \phi в узловых точках. Годится любая техника решения системы в матричном виде. В Главе 7 мы рассмотрим матричные методы решения, разработанные специально для задач вычислительной гидродинамики. Техника обработки различных типов граничных условий детально разобрана в Главе 9.

Конец перевода.

Теория метода контрольных объемов — заключительные замечания

Здесь не даны принципы учета граничных условий. Работа с граничными условиями показана в реализации примера, данного в разделе 4.3 [3]. Уравнение (4.11) строится в указанном виде только для внутренних контрольных объемов. У граничной ячейки нет одной из соседних узловых точек: либо западной, либо восточной, вместо неё только граница самого контрольного объема с заданным ГУ. Для граничных ячеек (4.11) видоизменяется с целью учета граничных условий, поэтому в реализации все уравнения для граничных ячеек строятся отдельно от уравнений внутренних ячеек. Принцип тот же, но коэффициенты a_{W}, a_{E}a_{P} вычисляются по формулам для граничных ячеек.

Литература

[1] H.K. Versteeg, W Malalasekera — An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method (2nd ed)

[2] Реализация 1D.

[3] Пример и учет ГУ 1D (продолжение).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.