Число мощности (Число Ньютона) и пи-теорема Бакингема в задаче о моменте импеллера

Почему при рассмотрении задачи об определении момента, необходимого для вращения импеллера, мы рассматриваем две безразмерных величины — число Рейнольдса и число мощности? Пи-теорема Бакингема применяется для того, чтобы свести задачу отыскания многопараметрической зависимости к более простой. Это позволяет упростить посторение прикладных графиков. Именно так появились диаграммы зависимости числа мощности от числа Рейнольдса, упомянутые в статье о моменте импеллера. Здесь мы рассмотрим применение пи-теоремы для параметризации задачи импеллера в безразмерных величинах.

Характеристика задачи. Число мощности и число Рейнольдса

Момент на импеллере T_{imp} = [N \cdot m] = M L^{2}T^{-2} исходя из интуитивных соображений о сути процесса определяется следующими величинами:

Вязкость динамическая \mu = [Pa \cdot s] = kg \cdot m^{-1}  \cdot  s^{-2}  \cdot  s = M L^{-1} T^{-1}

Диаметр крыльчатки D = [m] = L

Плотность перемешиваемой жидкости \rho = [kg/m^{3}] = M L^{-3}

Число оборотов в секунду N = [s^{-1}] = T^{-1}

Значит, общее число параметров системы n=5, число независимых m=3. Эти три независимых — единицы массы, длины и времени (обозначаются M, L, T). По теореме Бакингема, может быть составлено n-m=2 безразмерных переменных для параметризации задачи. Как мы увидим далее, одна из них — это число Рейнольдса N_{Re}, а вторая — число мощности N_{p} или число Ньютона. Такое сведение задачи очень полезно, поскольку функция T_{imp}=f(\mu,D,\rho,N) визуализируется для инженерных приложений намного сложнее, чем N_{p}=f(N_{Re}).

Выбор независимых параметров

В качестве независимых выбираем диаметр D[L], обороты N[ T^{-1} ] и плотность \rho[ M L^{-3} ].

Выбор немного хитрый, не наобум. Отметим пару моментов. Независимые они из-за того, что умножая и деля их нельзя сократить все основные единицы измерения и получить 1. Кроме того, к этому набору предъявляется требование о том, что в него должны входить такие параметры, основные единицы измерения которых представлены все, что есть в задаче. То-есть у нас в единицах измерения выбранных параметров должны быть единицы массы, длины и времени. Дополнительно в этот набор не должна входить функция, для которой упрощается зависимость. В нашем случае, в этот набор не должен входить момент на импеллере T_{imp}.

Оставшиеся в задаче параметры — это вязкость \mu и момент T_{imp}. Обезразмеривая их единицы измерения с помощью независимых с неизвестными степенями, мы будем находить безразмерные параметры задачи.

\Pi_{1} число Рейнольдса

Итак, безразмерная величина, это когда все базовые единицы имеют степень 0: M^{0}L^{0}T^{0}. Нам теперь нужна такая комбинация независимых параметров, которая обезразмерить вязкость. Значит:

M^{0}L^{0}T^{0} = M L^{-1} T^{-1}  \cdot  [(L)^{a} \cdot (T^{-1})^{b} \cdot (M L^{-3})^{c}]=M^{1+c}L^{-1+a-3c}T^{-1-b}

Приравнивая степени при одних базовых единицах нулям и перенося константы в правую часть, имеем:

\begin{cases}0 \cdot a +  0 \cdot b  +  1 \cdot  c  = -1\\   1 \cdot  a +  0 \cdot b  - 3c   = 1 \\ -b=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=-1\\a=-2\\b=-1 \end{cases}

Проверка: \mu \cdot D^{-2} \cdot N^{-1} \cdot \rho^{-1} = ML^{-1}T^{-1} \cdot L^{-2} \cdot (T^{-1})^{-1} \cdot (ML^{-3})^{-1}=1

Значит \Pi_1=\frac{\mu} {D^{2}N\rho}. Это величина, обратная числу Рейнольдса, а потому ему эквивалентная.

\Pi_{2} Число мощности (Число Ньютона)

Обезразмерим теперь момент на валу импеллера T_{imp}  = M L^{2}T^{-2}.

M^{0}L^{0}T^{0} =  M L^{2} T^{-2}  \cdot  [ (L)^{a} \cdot (T^{-1})^{b} \cdot (M L^{-3})^{c}] =M^{1+c}L^{2+a-3c}T^{-2-b}

Опять, приравнивая степени при одних базовых единицах нулям и перенося константы в правую часть, имеем:

\begin{cases}0 \cdot a +  0 \cdot b  +  1 \cdot  c  = -1\\   0 \cdot  a +  0 \cdot b  - 3c   = -2 \\ b=-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=-1\\a=-5\\b=-2 \end{cases}

Таким образом \Pi_{2}=T \cdot D^{-5} \cdot N^{-2} \cdot \rho^{-1}

Последнее выражение представляет собой число мощности, выраженное с помощью момента на валу импеллера.

Мы свели задачу к двум безразмерным параметрам.

T=f(\mu,D,\rho,N) \rightarrow \Pi_{1}=f(\Pi_{2})

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.