Элементы гидросистем для связного графа

Варианты различных элементов гидросистем, моделируемых однопортовыми компонентами связанного графа.

В этом видео показано построение уравнений для простой гидросистемы, в которой есть сопротивления, емкости и инерция. Эту систему уравнений можно решить и мы обязательно сделаем это в одной из следующих статей. Сейчас мы рассмотрим элементы гидросистем. Три основных (сопротивление, ёмкость и инерцию).

\begin{aligned}V_1'= q - \frac{P_{R_1}}{R_1}, P_{R_1}= \frac{V_1}{C_1} - \frac{V_2}{C_2},  V_2'= \frac{P_{R_1}}{R_1} - \frac{\Gamma}{l_f}, \Gamma'= \frac{V_2}{C_2} - \Gamma  \frac{R_2}{l_f}\end{aligned}

Так выглядит система уравнений. Видите, выражения слагаемых вроде \frac{V_1}{C_1} или \frac{\Gamma}{l_f}? В этой статье мы проясним, каким же образом расставлены выражения для расхода (под стрелками) и давления (над стрелками) связанного графа в видео.

Не считая видео, это вторая статья по Bond Graph Modelling. Первая статья здесь.

Сопротивление (трубы)

Здесь есть целая теория на тему того, какой режим течения в трубе и как вычисляется сопротивление. Однако для простоты получаемых уравнений мы принимаем, что поток ламинарный и зависимость линейная. Вот она [2], стр.31:

Q = \frac{\pi D^4}{128 \mu L} \Delta P

Коэффициент пропорциональности и будет сопротивлением:

R_f=\frac{\Delta P}{Q}=\frac{128 \mu L}{\pi D^4}

Подробнее о расчетах сопротивления трубопровода с примерами можно почитать в [4] стр.68.

Очевидно, что сопротивление может быть имеет иную природу (игольчатый кран, дроссель с несколькими шайбами, фильтр). Часто для таких элементов гидросистем приводится просто кривая зависимости падения напряжения от расхода. Если по такой зависимости примерно построить линейную функцию, то тангенс её угла наклона определяет сопротивление.

Емкость

Такие элементы гидросистем, как емкость и инерция сохраняют энергию. Емкость сохраняет потенциальную энергию. В упомянутом видео подразумевается, что емкость это бак, в который снизу вводится рабочая жидкость. Поэтому высота столба над дном — гидростатическое давление. Чем больше жидкости втекает в бак и остается в нем, тем больше накопленная потенциальная энергия. См. [2] стр. 33 или [3] стр.84

P = \rho g h = \rho g \frac{V}{A}

если вынести постоянную часть, то

C_f = \frac{V}{P} = \frac{A}{\rho g}

Инерция

Сохраняет кинетическую энергию. За инерцию принимается приведенная в точку инерция цилиндрического объема рабочей жидкости в трубе. Если взять разницу давлений на концах трубопровода и умножить на площадь, то получим равнодействующую силу. Она действует на условную какую-то точку, которая для прямой трубки совпадает с центром тяжести.

Так вот, инерция такой точки с массой рабочей жидкости определяется с помощью объема. Подробнее тут — [2] стр.35. В итоге имеем второй закон Ньютона, содержащий коэффициент пропорциональности между перепадом давления (\Delta P) и производной расхода (Q’).

m*v' = \Delta P \cdot A = \left( \rho \cdot V \right) \cdot \left( \frac{Q'}{A} \right) = \left( \rho \cdot l \right) \cdot \frac{dQ}{dt}

Выразив \Delta P, получим:

\Delta P dt = \frac{\rho*l}{A}*dQ (*1)

интегрируем обе части (*1) и перепад превращается в интеграл перепада, а производная расхода просто в расход. Вводим обозначение I_f = \frac{\int{\Delta P}{dt}}{Q} и из проинтегрированного уравнения с заменой получим, что:

I_f = \frac{\rho*l}{A}

Это формула для коэффициента гидравлической инерции. Он связывает производную расхода с перепадом на трубе так, как показано в уравнении (*1)

Обратите внимание на то, что здесь не получается связи давления с расходом. Это значит, что в расчетной программе придется считать давление из гидравлического момента (\Gamma = \int{\Delta P}{dt}) и расхода. Если для баков мы получаем в переменные решателя прямо объем в баке, который визуально понятен, то тут, с давлением так не выходит. Мы получаем Г. И именно Г’, поскольку она равна перепаду и имеет размерность давления, входит в последнее уравнение.

См. также [1] стр.21 уравн. 1.72. Там, правда, перепад обозначен как ‘p’. Без ‘дельты’.

Литература

[1] — An Introduction to Bond Graph Modeling with Applications (J. A. Tenreiro Machado, Vitor M. R. Cunha), 2021

[2] — System Dynamics and Control with Bond Graph Modeling (Javier A. Kypuros), 2013

[3] — Dynamic Systems Modeling, Simulation, and Control (Craig A. Kluever)

[4] — Некрасов Б.Б., Фатеев И.В., Беленков Ю.А. и др. — Задачник по гидравлике, гидромашинам и гидроприводу, 1989.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.