Матрица размерностей

В статье про матричный подход к получению безразмерных величин, мы не рассматривали, почему в коде ищется нуль-пространство для матрицы. Восполним этот пробел.

Итак, допустим для некоторой задачи есть набор исходных величин, характеризующих процесс. Мы знаем, что в соответствии с Пи-теоремой Бакингема, можно сформировать безразмерные числа (определенное количество) из этих величин, умножая и деля друг на друга данные исходные величины. Безразмерных чисел будет меньше, чем исходных единиц измерения. Это помогает упростить эксперимент, да еще и позволяет масштабировать процессы. Об этом и есть книга [1].

Для нашего примера, мы даже не будем вдаваться в суть постановки. Нам достаточно набора исходных единиц измерения. Пусть он такой:

\Delta p [Pa\equiv\frac{(kg\cdot\frac{m}{s^2})}{m^{2}}], q [m^3/s], d [m], l [m], \rho [\frac{kg}{m^3}], \nu [\frac{m^2}{s}]

Интересно, что в книге [1] Пи-теорема сама по себе дана в матричной форме:

“Любое физическое соотношение n физических величин между собой может быть редуцировано к соотношению между m = n — r взаимно независимых безразмерных групп, где r — ранг матрицы размерностей.”

Формирование матрицы размерностей из исходных величин

В данной задаче, базовых единиц три — килограмм (m), метр (l) и секунда (T). Из них получаются все единицы исходных величин. Каждая строка матрицы соответствует определенной базовой единице. Первая строка — килограммам, вторая метрам, третья — времени, секундам. Столбец соответствует единице измерения исходной величины. То есть, первый столбец соответствует паскалям, второй — кубометрам в секунду и так далее. На пересечениях строки и столбца пишется показатель степени базовой единицы в единице измерения исходной величины. То есть например, показателем секунд в выражении Паскаля является -2, поэтому в первом столбце, на третьей строке записана цифра -2. Столбцы и строки для краткости обозначим не единицами измерения, а величинами.

  | rho d nu  | dp  q  l         x1
m |  1  0  0  |  1  0  0         x2 
l | -3  1  2  | -1  3  1     x = x3
T |  0  0 -1  | -2 -1  0         x4
      core      residual         x5
                                 x6

Редуцирование

Итого, нам нужно найти линейные комбинации показателей (вектор коэффициентов, x), такие что уравнение Ax = 0 выполняется. То есть линейная комбинация показателей (а это соответствует перемножению и делению исходных величин) становится безразмерной. Умножение каждой строки матрицы A на такой вектор x, мы получаем какую то дробь в которой делятся и умножаются исходные величины, а значит их показатели линейно комбинируются по найденному для нашей системы решению.

При этом то, что матрица A не квадратная приводит к наличию основных (core) и свободных переменных. То-есть если мы определим, например x1, x2 и x3, то они будут выражены через x4, x5 и x6. Последние называются свободными переменными. Их можно выбирать как угодно, чтобы получить частные решения системы Ax = 0.

Редуцирование ведется методом сложения/вычитания строк, помноженных на множитель. Мы не будем этот процесс тут приводить. Любую матрицу можно привести к ступенчатой форме линейными манипуляциями со строками. Мы покажем лишь результат редуцирования. Для любопытствующих, выкладки для этой самой матрицы есть в книге [1], стр. 19.

rho d nu  | dp  q  l
 1  0  0  |  1  0  0
 0  1  0  | -2  1  1
 0  0  1  |  2  1  0

Как работают линейные комбинации

В результате предыдущего параграфа мы имеем матрицу с единичным левым блоком (rho, d, nu). А это значит, что значения вектора x, а именно x1 ,x2, x3 могут быть легко выражены из трех строк системы, то есть:

x_1 + x_4 = 0, \newline x_2 - x_4 + x_5 + x_6 = 0,\newline x_3 + x_4 + x_5 = 0;

или

x_1 = -x_4,\newline x_2 = 2x_4 - x_5 - x_6,\newline x_3 = -2x_4 - x_5;

Свободные переменные мы выбираем как хотим, и примем их так, чтобы не было зависимости:

Вариант 1: x_4 = 1, x_5 = 0, x_6 = 0;

Вариант 2: x_4 = 0, x_5 = 1, x_6 = 0;

Вариант 3: x_4 = 0, x_5 = 0, x_6 = 1;

Для первого варианта имеем полный вектор:

     x1   -x4              -1
     x2   2*x4 - x5 - x6    2
x' = x3 = -2*x4 - x5     = -2
     x4   1                 1
     x5   0                 0
     x6   0                 0

Вот этот вектор x’, если его помножить на первую строку в матрице А(1,:), дает ноль. Это значит, что показатели степеней килограммов у произведения исходных величин, которое соответствует A(1,:)*x’, будут обнуляться. Безразмерная величина «по килограммам» получится. Проверим по всем базовым единицам:

                       -1
                        2
 1  0  0  |  1  0  0 * -2 = -1 + 1 = 0 (килограммы обнуляются)
                        1
                        0
                        0
                       -1
                        2
-3  1  2  | -1  3  1 * -2 = 3 + 2 - 4 - 1 = 0 (метры тоже обнуляются)
                        1
                        0
                        0
                      -1
                       2
0  0 -1  | -2 -1  0 * -2 = 2 - 2 = 0 (и секунды обнуляются)
                       1
                       0
                       0

Вывод: действительно этот вектор является набором показателей исходных единиц измерения, при котором базовые единицы измерения исчезнут, сократятся. Этот вектор соответствует вот такому произведению/делению исходных единиц:

\rho^{-1} d^2 nu^{-2} \Delta p = \frac{\Delta p d^2}{\rho \nu^2}

Для варианта 2 и варианта 3 мы так же получим ещё две безразмерных величины. Именно поэтому, при решении задачи обезразмеривания данного процесса в книге [1] ищется нуль пространство, состоящее из трех таких векторов.

Литература

[1] — Marko Zlokarnik — Scale-up in Chemical Engineering, 2nd, Completely Revised and Extended Edition, 2006

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.