Перемещения при внезапном нагружении

Со студенческих времен, когда доступ в Интернет был «по диалапу» и тарифицировался по времени, у меня остался интересный учебный материал D.J. Dunn — Complex Stress. К сожалению, в сети его полностью я теперь найти не смог. В этой заметке приведу выдержку о том, почему перемещения при внезапном нагружении конструкции всегда больше.

Перемещения при внезапном нагружении: Постановка задачи

Допустим, есть следующая конструкция (рисунок в заголовке): к потолку вертикально прикреплен стержень сечения $A$ с площадкой на свободном конце. По стержню скользит груз с массой $m$ на оправке. При достижении грузом определенного величиной $z$ перемещения, оправка бьётся о площадку. Площадка смещается на некоторое расстояние $x$ из-за растяжения стержня. Рассмотрим теперь то, как будет вычисляться перемещение $x$ площадки.

Будем искать, во сколько раз ударное смещение $x$ больше статического $x_{s}$ . Поэтому для начала стоит разобраться, чему равно статическое перемещение $x_{s}$ , если оправку с грузом аккуратно переместить до упора в площадку.

Анализ расчетной схемы

Нормальное напряжение внутри стержня, по определению равно отношению силы к площади:

$\sigma=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}$

Сила $F$ равна весу груза $mg$ .

С другой стороны, по закону Гука, напряжение $\sigma$ можно вычислить по относительной деформации $\epsilon$ :

$\sigma=\epsilon E$ , где $\epsilon=\frac{x_{s}}{L}$ , поэтому в данном случае, напряжение запишется так:

$\sigma=\frac{x_{s} E}{L}$

Напряжение одно и тоже, значит можем приравнять:

$\frac{mg}{A}=\frac{x_{s} E}{L}$ , откуда получим $x_{s}=\frac{mgL}{AE}$

Хорошо, со статикой разобрались. Теперь, с учетом падения с высоты z. В этом случае, имеем картину перехода потенциальной энергии в энергию деформации стержня. Запишу сразу формулу, в левой части — изменение потенциальной энергии при изменении положения по высоте, а в правой — энергия деформации растяжения стержня:

$mg(z+x)=\frac{\sigma^{2}AL}{2E}$

Это закон сохранения энергии. Обратите внимание на то, что в этой формуле нет индекса $s$ у перемещения $x$ . Это означает, что данная величина уже не для статического нагружения.

Снова воспользуемся законом Гука, а также определением относительной деформации $\sigma=\epsilon E=\frac{Ex}{L}$ , и подставим $\sigma$ в правую часть выражения закона сохранения энергии:

$mg(z+x)=\frac{Ex}{L}\frac{Ex}{L}\frac{AL}{2E}=\frac{Ex^{2}A}{2L}\Leftrightarrow \frac{mgL}{AE}(z+x)=\frac{x^{2}}{2}$

В этом выражении можно заметить статическое перемещение $x_{s}$ , найденное нами в самом начале. Поэтому, подставив его сюда получим связь перемещения статического с динамическим:

$x_{s}(z+x)=\frac{x^{2}}{2}$ , при $z=0$ получим:

$x_{s}\cdot 0+x_{s}x=\frac{x^{2}}{2}\Leftrightarrow x_{s}x=\frac{x^{2}}{2} \Leftrightarrow 2x_{s}=x$

Мы получили, что если резко приложить нагрузку к площадке, то перемещение этой площадки вниз будет в два раза больше. Если $z\neq0$ , то динамическая нагрузка будет ещё больше по сравнению со статической. Вместо того, чтобы подставлять в уравнение $z=0$ , мы могли бы решить квадратное уравнение относительно $x$ , тогда получили бы вот что:

$x=x_{s}(1+\sqrt{1+2\frac{z}{x_{s}}})$

Обратите внимание на то, что случай $z=0$ не эквивалентен статической нагрузке. Он представляет собой как раз внезапное воздействие оправкой на площадку стержня без «разбега». Для того, чтобы определить динамическую нагрузку, нужно определить статическую, а затем воспользоваться последней формулой для $x$ .

Перемещения при внезапном нагружении: Постановка задачи

Анализ расчетной схемы

Добавить комментарий Отменить ответ