Перемещения при внезапном нагружении

Перемещения при внезапном нагружении. Расчетная схема.
Перемещения при внезапном нагружении. Расчетная схема.

Со студенческих времен, когда доступ в Интернет был «по диалапу» и тарифицировался по времени, у меня остался интересный учебный материал D.J. Dunn — Complex Stress. К сожалению, в сети его полностью я теперь найти не смог. В этой заметке приведу выдержку о том, почему перемещения при внезапном нагружении конструкции всегда больше.

Перемещения при внезапном нагружении: Постановка задачи

Допустим, есть следующая конструкция (рисунок в заголовке): к потолку вертикально прикреплен стержень сечения A с площадкой на свободном конце. По стержню скользит груз с массой m на оправке. При достижении грузом определенного величиной z перемещения, оправка бьётся о площадку. Площадка смещается на некоторое расстояние x из-за растяжения стержня. Рассмотрим теперь то, как будет вычисляться перемещение x площадки.

Будем искать, во сколько раз ударное смещение x больше статического x_{s}. Поэтому для начала стоит разобраться, чему равно статическое перемещение x_{s}, если оправку с грузом аккуратно переместить до упора в площадку.

Анализ расчетной схемы

Нормальное напряжение внутри стержня, по определению равно отношению силы к площади:

\sigma=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}

Сила F равна весу груза mg.

С другой стороны, по закону Гука, напряжение \sigma можно вычислить по относительной деформации \epsilon:

\sigma=\epsilon E, где \epsilon=\frac{x_{s}}{L}, поэтому в данном случае, напряжение запишется так:

\sigma=\frac{x_{s} E}{L}

Напряжение одно и тоже, значит можем приравнять:

\frac{mg}{A}=\frac{x_{s} E}{L}, откуда получим x_{s}=\frac{mgL}{AE}

Хорошо, со статикой разобрались. Теперь, с учетом падения с высоты z. В этом случае, имеем картину перехода потенциальной энергии в энергию деформации стержня. Запишу сразу формулу, в левой части — изменение потенциальной энергии при изменении положения по высоте, а в правой — энергия деформации растяжения стержня:

mg(z+x)=\frac{\sigma^{2}AL}{2E}

Это закон сохранения энергии. Обратите внимание на то, что в этой формуле нет индекса s у перемещения x. Это означает, что данная величина уже не для статического нагружения.

Снова воспользуемся законом Гука, а также определением относительной деформации \sigma=\epsilon E=\frac{Ex}{L}, и подставим \sigma в правую часть выражения закона сохранения энергии:

mg(z+x)=\frac{Ex}{L}\frac{Ex}{L}\frac{AL}{2E}=\frac{Ex^{2}A}{2L}\Leftrightarrow \frac{mgL}{AE}(z+x)=\frac{x^{2}}{2}

В этом выражении можно заметить статическое перемещение x_{s}, найденное нами в самом начале. Поэтому, подставив его сюда получим связь перемещения статического с динамическим:

x_{s}(z+x)=\frac{x^{2}}{2}, при z=0 получим:

x_{s}\cdot 0+x_{s}x=\frac{x^{2}}{2}\Leftrightarrow x_{s}x=\frac{x^{2}}{2} \Leftrightarrow 2x_{s}=x

Мы получили, что если резко приложить нагрузку к площадке, то перемещение этой площадки вниз будет в два раза больше. Если z\neq0, то динамическая нагрузка будет ещё больше по сравнению со статической. Вместо того, чтобы подставлять в уравнение z=0, мы могли бы решить квадратное уравнение относительно x, тогда получили бы вот что:

x=x_{s}(1+\sqrt{1+2\frac{z}{x_{s}}})

Обратите внимание на то, что случай z=0 не эквивалентен статической нагрузке. Он представляет собой как раз внезапное воздействие оправкой на площадку стержня без «разбега». Для того, чтобы определить динамическую нагрузку, нужно определить статическую, а затем воспользоваться последней формулой для x.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.