
Со студенческих времен, когда доступ в Интернет был «по диалапу» и тарифицировался по времени, у меня остался интересный учебный материал D.J. Dunn — Complex Stress. К сожалению, в сети его полностью я теперь найти не смог. В этой заметке приведу выдержку о том, почему перемещения при внезапном нагружении конструкции всегда больше.
Перемещения при внезапном нагружении: Постановка задачи
Допустим, есть следующая конструкция (рисунок в заголовке): к потолку вертикально прикреплен стержень сечения с площадкой на свободном конце. По стержню скользит груз с массой
на оправке. При достижении грузом определенного величиной
перемещения, оправка бьётся о площадку. Площадка смещается на некоторое расстояние
из-за растяжения стержня. Рассмотрим теперь то, как будет вычисляться перемещение
площадки.
Будем искать, во сколько раз ударное смещение больше статического
. Поэтому для начала стоит разобраться, чему равно статическое перемещение
, если оправку с грузом аккуратно переместить до упора в площадку.
Анализ расчетной схемы
Нормальное напряжение внутри стержня, по определению равно отношению силы к площади:
Сила равна весу груза
.
С другой стороны, по закону Гука, напряжение можно вычислить по относительной деформации
:
, где
, поэтому в данном случае, напряжение запишется так:
Напряжение одно и тоже, значит можем приравнять:
, откуда получим
Хорошо, со статикой разобрались. Теперь, с учетом падения с высоты z. В этом случае, имеем картину перехода потенциальной энергии в энергию деформации стержня. Запишу сразу формулу, в левой части — изменение потенциальной энергии при изменении положения по высоте, а в правой — энергия деформации растяжения стержня:
Это закон сохранения энергии. Обратите внимание на то, что в этой формуле нет индекса у перемещения
. Это означает, что данная величина уже не для статического нагружения.
Снова воспользуемся законом Гука, а также определением относительной деформации , и подставим
в правую часть выражения закона сохранения энергии:
В этом выражении можно заметить статическое перемещение , найденное нами в самом начале. Поэтому, подставив его сюда получим связь перемещения статического с динамическим:
, при
получим:
Мы получили, что если резко приложить нагрузку к площадке, то перемещение этой площадки вниз будет в два раза больше. Если , то динамическая нагрузка будет ещё больше по сравнению со статической. Вместо того, чтобы подставлять в уравнение
, мы могли бы решить квадратное уравнение относительно
, тогда получили бы вот что:
Обратите внимание на то, что случай не эквивалентен статической нагрузке. Он представляет собой как раз внезапное воздействие оправкой на площадку стержня без «разбега». Для того, чтобы определить динамическую нагрузку, нужно определить статическую, а затем воспользоваться последней формулой для
.