Граничные условия в МКО: дополнительные пояснения к реализации МКО описанной в статье [2]. В этой статье приводится перевод Раздела 4.3 книги [1] с примером 4.1 по теплопередаче. Раздел 4.1 и 4.2 — см. [3]. Необходимость этих дополнительных пояснений обусловлена тем, что в статьях по теории и по реализации нет явных указаний на принцип обработки граничных условий.
Граничные условия в МКО: основные сведения
В одномерной реализации метода контрольных объемов, есть три типа уравнений: уравнения для внутренних узлов, уравнение (одно) для граничного левого узла и ещё уравнение (одно) для граничного правого узла. Для этих уравнений общим является необходимость подсчетов коэффициентов .
Начало перевода [1] стр. 118.
4.3 Рабочие примеры: одномерный установившийся процесс диффузии
В этом разделе представлено приложение метода конечных объемов для решения задачи переноса тепла. Уравнение, характеризующее этот процесс имеет вид:
(4.12)
Здесь — это коэффициент теплопроводности, он занимает место из уравнения (4.3). В роли зависимой переменной , выступает температура . Источниковый член может представлять, к примеру, тепловыделение вследствие протекания в стержне электрического тока. Обработка граничных условий и источниковых составляющих будет рассмотрена на рабочих примерах далее.
Пример 4.1
Рассмотрим задачу теплопереноса без источников в изолированном стержне, на концах которого поддерживается постоянная температура 100ºК и 500ºК. Эта одномерная задача изображена на рис. 4.3.
Уравнение процесса имеет вид:
(4.13)
Необходимо определить распределение температуры в стержне при установившемся процессе теплопередачи. Коэффициент теплопроводности Вт/(м·К), площадь поперечного сечения стержня кв.м.
Разделим стержень по длине на пять равных контрольных объемов, как показано на рис. 4.4. В этом случае, размер ячейки будет равен м.
Сетка состоит из пяти узлов. Для каждого из узлов 2,3 и 4 температура в соседних узлах равна некоторым неизвестным узловым величинам. Следовательно, дискретные уравнения по форме (4.10) возможно представить для каждого внутреннего контрольного объема таким образом:
(4.14)
Будем считать, что теплопроводность и площадь сечения стержня постоянны по длине. Также постоянным считаем шаг сетки . Индексы у этих величин далее мы опускаем.
(4.15)
Здесь , , . Слагаемые и из (4.11) здесь равны нулю, так как по условию задачи, в (4.13) отсутствуют источники.
Узлы 1 и 5 в нашей задаче являются граничными. Их обсуждением мы сейчас займемся. Интегрирование уравнения (4.13) по контрольному объему, расположенному вокруг точки 1 дает следующее:
(4.16)
Это уравнение демонстрирует нам то что поток сквозь границу A контрольного объема аппроксимируется в предположении, что распределение температуры между точками A (на границе) и P (узел внутри объема) выбрано линейным. Уравнение (4.16) возможно привести к следующему виду:
(4.17)
Сравнивая уравнение (4.17) с (4.10), легко видеть, что фиксированное граничное условие (заданная температура) вводится в дискретную модель в виде источникового члена , где и . Кроме того, связь с западной гранью теперь подавлена путем установки .
Теперь, уравнение (4.17) может быть записано в стандартном виде, как например, было записано (4.11). Это уравнение и будет дискретным уравнением для узла 1, на левой границе расчетной области:
(4.18)
Здесь , , , , .
Таким же образом можно рассмотреть пятый узел, находящейся на другой границе расчетной области. Его дискретное уравнение имеет вид:
(4.19)
Как и прежде, для аппроксимации теплового потока сквозь границу контрольного объема, мы подразумеваем линейное распределение температуры между узлом P и граничной точкой B. Уравнение (4.19) может быть переписано в виде:
(4.20)
Дискретное уравнение для узла 5 выглядит так:
(4.21)
Здесь , , , , .
Итак, процесс дискретизации привел нас к двум дополнительным уравнениям для граничных узлов 1 и 5. Теперь для каждого узла есть уравнение. Подстановка численных исходных данных дает и далее легко определяются коэффициенты каждого дискретного уравнения. Результирующий набор уравнений имеет вид:
(4.22)
Результирующий набор уравнений запишем так:
(4.23)
Решив систему (4.23) мы получим искомые значения температуры в узлах. Для несложных задач, когда число узлов небольшое, систему легко ввести вручную и решить в Matlab. Для и решением (4.23) будет вектор:
(4.24)
Точным решением является линейное распределение температуры между граничными точками по закону .
Конец перевода [1] стр. 121.
Литература
[1] — H.K. Versteeg, W. Malalasekera — An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method (2-nd ed)
[2] — Реализация МКО 1D.
[3] — Теория 1D для общего свойства .